El meme matemático que ha estado distrayendo a los matemáticos durante un siglo

En un famoso problema matemático conocido como la conjetura de Collatz, surge una estructura similar a un árbol a partir de conexiones numéricas.

Un conjunto de reglas aparentemente sencillas da inicio a una especie de truco de magia matemática que ha mantenido ocupadas a grandes mentes desde la década de 1930. El columnista Jacob Aron explora los orígenes de la conjetura de Collatz, por qué resulta tan adictiva para los matemáticos y si la IA podría ayudarnos a resolverla de una vez por todas.

Hace casi un siglo, un matemático ideó un acertijo aparentemente sencillo, pero endiabladamente difícil, que desde entonces ha desconcertado a otros matemáticos. Se ha convertido en un meme que se difunde rápidamente, con muchos que afirman haberlo resuelto, solo para ver frustradas sus esperanzas al descubrir la demostración. Y ojo: una vez que explique las reglas, querrás empezar a experimentar con él por tu cuenta, y no me hago responsable del tiempo que pierdas.

Empieza como un truco de magia. Elige un número, cualquiera; bueno, al menos un número entero positivo; no intentes complicarte con algo como pi. Si es par, divídelo entre 2. Si es impar, multiplícalo por 3 y súmale 1. Luego, aplica las mismas reglas al resultado. Si lo haces el tiempo suficiente, siempre obtendrás 1.

O al menos, eso creen los matemáticos. Si esto es cierto para cada número entero positivo posible es una cuestión abierta conocida como la conjetura de Collatz, llamada así en honor a Lothar Collatz, quien la investigó por primera vez en la década de 1930. Y, sorprendentemente, es una pregunta realmente difícil de responder. De hecho, Paul Erdős, uno de los matemáticos más prolíficos del siglo XX , llegó a decir que «las matemáticas quizás no estén preparadas para tales problemas».

¿Por qué es tan difícil demostrar la conjetura de Collatz? Si eres como yo, al oír hablar del problema, enseguida sacarás la calculadora y empezarás a hacer cálculos para ver si llegas a 1. De hecho, los matemáticos han usado ordenadores para comprobar todos los números hasta 2⁷¹ . Por desgracia, esto deja una cantidad infinita de números por comprobar, así que no nos ayuda mucho en la búsqueda de una demostración.

Un problema es que los números no se comportan de forma ordenada. Si empezamos con 1, terminamos. Para 2, lo dividimos por la mitad y terminamos. Pero para 3, la cadena de números es: 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Para 7, es: 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Puede que notes que la cadena para 7 contiene la cadena para 3, y ese es un aspecto interesante de Collatz: una vez que llegas a un número que ya se ha comprobado, no necesitas comprobarlo de nuevo, porque ya sabes dónde termina la cadena.

Todo esto convierte el problema en un auténtico imán para los matemáticos. Me viene a la mente una cita del excelente webcómic xkcd : «Hay un tipo de cerebro que se desactiva fácilmente. Si le muestras un problema interesante, deja involuntariamente todo lo demás para trabajar en él». Y, en efecto, como se ha popularizado con el meme de Collatz, eso es exactamente lo que ha sucedido.

La conjetura de Collatz ha desconcertado a muchos nerds.

Definiendo lo desconocido

Determinar el origen de la conjetura de Collatz es sorprendentemente difícil, aunque no tanto como encontrar una demostración. En una carta de 1980, Collatz escribió que comenzó a investigarla "hace casi 50 años". Parece que la mantuvo en secreto durante muchos años, probablemente considerándola una mera curiosidad. No empezó a difundirse más ampliamente hasta 1950, cuando Collatz asistió al Congreso Internacional de Matemáticos —la reunión más importante del campo— y conversó informalmente sobre el problema con otros asistentes.

Desde allí se extendió a través de redes matemáticas e incluso parece haber sido redescubierta y renombrada por otros matemáticos, recibiendo muchos nombres, como el problema de Syracuse, el algoritmo de Hasse o simplemente el problema 3x+1. Según Jeffery Lagarias , quien ha estudiado exhaustivamente la conjetura, no se publicó hasta 1971, cuando se la describió como "un chisme matemático", pero alcanzó gran popularidad un año después, cuando Martin Gardner escribió sobre ella en su columna Mathematical Games para Scientific American . Si no lo conocen, Gardner es una figura legendaria en el campo de las "matemáticas recreativas", esencialmente cosas que los matemáticos investigadores serios desprecian un poco, pero que disfrutan en secreto junto con otros aficionados a las matemáticas.

La conjetura de Collatz siguió estando a caballo entre las matemáticas recreativas y las de investigación durante un tiempo. Me hizo gracia encontrar un artículo de 1983 titulado « No intentes resolver estos problemas », que enumera la conjetura, junto con otras, advirtiendo a los matemáticos que se mantuvieran alejados, sabiendo que inevitablemente sucumbirían a la tentación.

El matemático Lothar Collatz dedicó 50 años a considerar su conjetura.

Uno de los primeros resultados importantes se produjo en 1976, cuando Riho Terras demostró un hallazgo crucial. Observarás que si comienzas con un número par, tu cadena de Collatz siempre cae por debajo de este número inicial, ya que el primer paso es dividirlo por la mitad. Sin embargo, si comienzas con un número impar, tu primera parada se sitúa por encima del número inicial. Entonces, la pregunta es: ¿cuánto tiempo tardarás en volver a caer por debajo del punto de partida, idealmente en camino a 1? Terras denominó a esto el "tiempo de parada" de un número y demostró que, en casi todos los casos, el tiempo de parada es finito, lo que significa que los números finalmente disminuyen, en lugar de aumentar indefinidamente.

Esto no basta para probar la conjetura de Collatz, ya que un solo contraejemplo de un número inimaginablemente grande que nunca llega a 1 bastaría para refutarla. Además, es insatisfactoriamente impreciso: ¿qué significa "casi todos" cuando se trata de infinitas posibilidades? Se obtendría mayor precisión en 2002, cuando Ilia Krasikov y Lagarias demostraron que, para un número x dado, al menos x 0,84 números por debajo de él eventualmente llegarán a 1. Esto resulta un tanto confuso; por ejemplo, si tomamos x como 100, eso significa que al menos 47 números por debajo de 100 llegarán a 1. De hecho, sabemos que todo número por debajo de 100 llega a 1, pero lo que hace la demostración es poner un límite explícito a las incógnitas de Collatz.

El mayor avance se produjo en 2019, cuando Terrence Tao, posiblemente el matemático vivo más importante del mundo, decidió abordar este famoso problema. Demostró una versión mucho más sólida del resultado de Terras , mostrando que no solo "casi todos" los números terminan siendo inferiores a su punto de partida, sino que, en efecto, se pueden reducir tanto como se desee. Esto se asemeja bastante a una demostración de la conjetura de Collatz, aunque, en cierto modo, no está más cerca, ya que siempre existe la posibilidad de un contraejemplo en los confines de la recta numérica.

¿Qué sigue para la conjetura de Collatz? Mientras escribía esta columna, se dio a conocer la noticia de que OpenAI había utilizado un modelo de lenguaje complejo para resolver un problema importante que había desconcertado a los matemáticos durante 80 años. Lo logró no demostrando su corrección, sino encontrando un contraejemplo inesperado . ¿Podría ocurrir lo mismo con Collatz? No me atrevería a predecir nada en este momento, pero sin duda sería irónico que un problema que ha intrigado a tantas personas terminara siendo resuelto por una IA.